ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & k \end{bmatrix}$ અને $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$. જો $A$ એ $f(A) = 0$ નું સમાધાન કરે,તો:

જેના માટે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$ એ સિંગ્યુલર (singular) અને સંમિત (symmetric) શ્રેણિક હોય તેવી ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $z_1 = 2 + 3 \ i$ અને $z_2 = 3 + 2 \ i$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ હોય,તો $\begin{bmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{z}_1 & -z_2 \\ \bar{z}_2 & z_1 \end{bmatrix} =$

ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$,જ્યાં $\alpha$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k}$. જો $(I - M^2)N = -2I$ હોય,તો $\alpha$ નું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી $A^2 - 5A + 7I = 0$.
વિધાન-$I$: ${A^{-1}} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
વિધાન-$II$: બહુપદી $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ ને $5(A - 4I)$ માં ઘટાડી શકાય છે.

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$ એ $G.P.$ માં છે જ્યાં $i = 1, 2, \dots, 10$ માટે $a_i > 0$ છે અને $S$ એ $(r, k)$ જોડીઓનો સમૂહ છે,$r, k \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ) જેના માટે
$\left| \begin{array}{ccc} \log_e(a_1^r a_2^k) & \log_e(a_2^r a_3^k) & \log_e(a_3^r a_4^k) \\ \log_e(a_4^r a_5^k) & \log_e(a_5^r a_6^k) & \log_e(a_6^r a_7^k) \\ \log_e(a_7^r a_8^k) & \log_e(a_8^r a_9^k) & \log_e(a_9^r a_{10}^k) \end{array} \right| = 0$
તો $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?